\chapter{麦克斯韦电磁场动力学理论的数学推导 (1864)}
	
	\begin{abstract}
		本文详细重现了詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在1864年论文《电磁场的动力学理论》中提出的电磁场方程组的推导过程。通过分析涡旋电场、位移电流等创新概念，展示了如何从实验定律出发构建完整的电磁场理论体系，最终导出著名的麦克斯韦方程组。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1864年，麦克斯韦发表了划时代的论文《A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field》，统一了电学、磁学和光学现象。本文将用现代矢量记号重现其推导过程...
	
	\section{基本电磁实验定律}
	
	\subsection{静电场的高斯定律}
	库仑实验给出：
	\begin{equation}
		\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}
	\end{equation}
	其中$\mathbf{E}$为电场强度，$\rho$为电荷密度。
	
	\subsection{安培-麦克斯韦定律}
	麦克斯韦修正了安培环路定律，引入位移电流：
	\begin{equation}
		\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
	\end{equation}
	
	\section{麦克斯韦的物理模型与数学推导}
	
	\subsection{涡旋电场假设}
	法拉第电磁感应定律的微分形式：
	\begin{equation}
		\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
	\end{equation}
	
	\subsection{磁场的无源性}
	\begin{equation}
		\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
	\end{equation}
	
	\section{方程组的完整推导}
	
	\subsection{位移电流的引入}
	麦克斯韦发现安培定律$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$在时变情况下不满足连续性方程：
	
	\begin{align}
		\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) &= 0 \\
		\nabla \cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} &= 0
	\end{align}
	
	通过高斯定律$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\epsilon_0$，得到修正项：
	
	\begin{equation}
		\mathbf{J}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
	\end{equation}
	
	\subsection{波动方程的导出}
	在无源空间($\rho=0,\mathbf{J}=0$)中，取电场旋度的旋度：
	
	\begin{align}
		\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) &= -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B}) \\
		&= -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}
	\end{align}
	
	利用矢量恒等式$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}$，得到：
	
	\begin{equation}
		\nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0
	\end{equation}
	
	\section{结论}
	通过上述推导，我们得到了完整的麦克斯韦方程组：
	
	\begin{align}
		\nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\
		\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\
		\nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\
		\nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
	\end{align}
	
	这一理论预言了电磁波的存在，为现代电磁学奠定了基础。
	